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几种计算平方和的方法

问题:计算

大胆假设,归纳法验证

也许你能一下子猜到,

显然有 $S_0=0$,假设 $n>0$,且 $n-1$ 时上式成立,由于有 $S_n = S_{n-1}+n^2$,那么就有

因此上式成立。

扰动法

分离 $S_{n+1}$ 的第一项与最后一项,用两种方法改写 $S_n$,得到关于 $S_n$ 的一个方程

遗憾的是,两边的 $S_n$ 被消掉了。但是,这仍得到了一个结果

这似乎暗示了一种得到封闭形式的方法,现在考虑整数的立方 $T_n$,对其使用扰动法

因此便能够得到上面的结果。

成套方法