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「HDU 4747」Mex - 线段树

题意

给定一个非负序列 $\{a_i\}$,定义 $\operatorname{mex}(l, r)$ 表示下标在 $l$ 和 $r$ 之间未出现的最小自然数,求

题解

若固定左端点,那么随着右端点的增加,mex 是单调不降的。因此考虑枚举左端点 $i$,维护此时序列每个位置的 mex。每次左端点 + 1 都需要删除上一个点 $a_{i-1}$,$a_{i-1}$ 影响的范围为 $i$ 到 $a_{i-1}$ 出现的下一个位置 - 1,在这段区间内所有大于 $a_{i-1}$ 的 mex 都应该更新为 $a_{i-1}$。由于 mex 具有单调性,因此可以二分寻找大于 $a_{i-1}$ 的第一个 mex 对应的位置,用线段树维护 mex。

Code

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#include <bits/stdc++.h>

typedef long long LL;
const int N = 200000 + 5;

int n, a[N], b[N], max[N << 2], lazy[N << 2], nxt[N];
LL sum[N << 2];

std::map<int, int> vis;

void pushup(int now)
{
sum[now] = sum[now << 1] + sum[now << 1 | 1];
max[now] = std::max(max[now << 1], max[now << 1 | 1]);
}

void Build(int now, int l, int r)
{
lazy[now] = -1;
if (l == r)
{
sum[now] = max[now] = b[l];
return;
}
int mid = (l + r) >> 1;
Build(now << 1, l, mid);
Build(now << 1 | 1, mid + 1, r);
pushup(now);
}

void pushdown(int now, int l, int r)
{
if (lazy[now] != -1)
{
int mid = (l + r) >> 1;
max[now << 1] = max[now << 1 | 1] = lazy[now];
sum[now << 1] = 1LL * (mid - l + 1) * lazy[now];
sum[now << 1 | 1] = 1LL * (r - mid) * lazy[now];
lazy[now << 1] = lazy[now << 1 | 1] = lazy[now];
lazy[now] = -1;
}
}

void Add(int now, int l, int r, int al, int ar, int delta)
{
if (al > r || ar < l) return;
else if (al <= l && ar >= r)
{
max[now] = delta;
sum[now] = 1LL * (r - l + 1) * delta;
lazy[now] = delta;
return;
}
pushdown(now, l, r);
int mid = (l + r) >> 1;
if (al <= mid) Add(now << 1, l, mid, al, ar, delta);
if (ar > mid) Add(now << 1 | 1, mid + 1, r, al, ar, delta);
pushup(now);
}

int Find(int now, int l, int r, int k)
{
if (l == r) return l;
pushdown(now, l, r);
int mid = (l + r) >> 1;
if (max[now << 1] > k) return Find(now << 1, l, mid, k);
else return Find(now << 1 | 1, mid + 1, r, k);
}

int main()
{
while (~scanf("%d", &n) && n)
{
int now = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%d", &a[i]);
vis[a[i]] = 1;
while (vis[now]) now++;
b[i] = now;
}
for (int i = 1; i <= n; i++) vis[a[i]] = n + 1;
for (int i = n; i >= 1; i--)
{
nxt[i] = vis[a[i]];
vis[a[i]] = i;
}
Build(1, 1, n);
LL ans = sum[1];
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
Add(1, 1, n, i - 1, i - 1, 0);
if (a[i - 1] < max[1])
{
int l = Find(1, 1, n, a[i - 1]), r = nxt[i - 1] - 1;
if (l <= r) Add(1, 1, n, l, r, a[i - 1]);
}
ans += sum[1];
}
printf("%I64d\n", ans);
vis.clear();
memset(nxt, 0, sizeof(nxt));
}
return 0;
}