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差分约束笔记

From《算法竞赛进阶指南》。

差分约束

差分约束系统包含 $N$ 个变量 $X_1\sim X_N$,以及 $M$ 个约束条件,每个约束条件形如 $X_i-X_j\leq c_k$。我们要求一组解 $X_1=a_1, X_2=a_2, \cdots, X_N=a_N$,使所有约束条件都得到满足。

每个约束条件 $X_i-X_j\leq c_k$ 可以变形为 $X_i\leq X_j + c_k$,这与最短路中的三角形不等式 $dist[y]\leq dist[x]+z$ 很相似,因此可以从节点 j 向节点 i 连一条长度为 $c_k$ 的有向边。

若 $\{a_1,a_2,\cdots,a_N\}$ 是一组解,那么对任意常数 $\Delta$,$\{a_1+\Delta,a_2+\Delta,\cdots,a_N+\Delta\}$ 也是一组解。所以,不妨先求一组负数解,然后增加一个 0 号节点,令 $X_0=0$。这样一来,就多了 $N$ 个形如 $X_i-X_0\leq 0$ 的约束条件,应该从节点 0 向每个节点 i 连一条长度为 0 的有向边。

设 $dist[0]=0$,以 0 为起点求单源最短路,若存在负环,则差分约束系统无解。否则,$X_i=dist[i]$ 就是差分约束系统的一组解。

例题 Intervals

题意

从 0~50000 中选出尽量少的数,使得每个给定区间 $[a_i,b_i]$ 中都至少有 $c_i$ 个数被选。

题解

设 $s_k$ 表示 0~k 之间最少选多少个数,则有 $s_{b_i}-s_{a_i-1}\geq c_i$。

不过还要增加一些隐含条件,才能保证求出来的解是有意义的:

  1. $s_k-s_{k-1}\geq 0$。
  2. $s_k-s_{k-1}\leq 1$。

按上述方式建图,以 $50000$ 为起点跑最短路,答案为 $s_{50000}-s_{-1}$。

其实本该新建一个超级源,但本题中 50000 就起到了超级源的作用。

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 50000 + 5;
const int M = 300000 + 5;
const int INF = 1e9;

int n, a[N], b[N], c[N], d[N], s = 50001;
int tot, head[N], to[M], nxt[M], cost[M];

void AddEdge(int u, int v, int e)
{
nxt[++tot] = head[u], head[u] = tot, to[tot] = v, cost[tot] = e;
}

void SPFA()
{
queue<int> Q;
for (int i = 0; i <= 50001; i++) d[i] = INF;
d[s] = 0;
Q.push(s);
while (!Q.empty())
{
int u = Q.front(); Q.pop();
for (int e = head[u]; e; e = nxt[e])
{
int v = to[e];
if (d[v] > d[u] + cost[e])
{
d[v] = d[u] + cost[e];
Q.push(v);
}
}
}
}

int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--)
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d%d", &a[i], &b[i], &c[i]);
tot = 0;
memset(head, 0, sizeof(head));
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
a[i]++, b[i]++;
AddEdge(b[i], a[i] - 1, -c[i]);
}
for (int i = 1; i <= 50001; i++)
{
AddEdge(i - 1, i, 1);
AddEdge(i, i - 1, 0);
}
SPFA();
printf("%d\n", -d[0]);
if (T) puts("");
}
return 0;
}